En un tazón mediano, revolver los ingredientes de la salmuera hasta que la sal y el azúcar se disuelvan (2-3 minutos).
Colocar las chuletas en una bolsa de plástico grande con cierre hermético y verter en ella la salmuera. Expulsar el aire presionando la bolsa y cerrarla bien. Agitar la bolsa para distribuir la salmuera, colocar en un tazón y refrigerar durante 60-90 minutos.
Sacar las chuletas de la bolsa y desechar la salmuera. Retirar el exceso de humedad presionando con toallas de papel (no lavar) y sazonar uniformemente por ambos lados con el romero y la pimienta. Dejar reposando a temperatura ambiente durante 15-30 minutos antes de cocinar.
En una cacerola pequeña sobre un quemador a fuego medio-alto, hervir el vinagre balsámico hasta que haya espesado ligeramente y se reduzca a 60 ml (unos 10 minutos). Retirar del fuego. Incorporar la mantequilla batiendo y sazonar con la sal, la pimienta y el azúcar.
En un tazón pequeño, mezclar los ingredientes de la salsa.
Cocinar las rodajas de papa en una cacerola grande con agua salada hirviendo hasta que estén medio cocidas y comiencen a ablandarse un poco (unos 5 minutos). Escurrirlas. Enjuagar con agua fría para reducir la temperatura rápidamente. Escurrir de nuevo. Retirar el exceso de humedad presionando con toallas de papel. Rociar las rodajas de papa con aceite y sazonar uniformemente con romero, sal y pimienta.
Preparar el asador para fuego directo con calor medio (180-230 °C).
Cepillar las parrillas de cocción para limpiarlas. Asar las chuletas y las rodajas de papa con fuego medio directo, manteniendo la tapa cerrada, hasta que las chuletas tengan un leve color rosa en el centro y las papas estén suaves y con marcas de parrilla, dándoles la vuelta una o dos veces. Las chuletas tardarán 10-12 minutos; las papas tardarán 6-8 minutos. Retirar del asador según vaya estando listo cada alimento. Colocar las papas en un tazón mediano y combinar con el perejil. Sazonar con más sal y pimienta si se desea. Colocar una chuleta en cada plato.
Recalentar y batir el glaseado balsámico a fuego bajo. Rociar el glaseado sobre las chuletas. Repartir las papas entre los platos. Servir la salsa como acompañamiento para mojar las papas.