Remojar las astillas en agua durante, al menos, 30 minutos.
En una cacerola mediana, sobre un quemador a fuego medio, verter el aceite y cocinar la cebolla y el ajo hasta que se doren (unos 10 minutos), revolviendo frecuentemente. Añadir el resto de los ingredientes de la salsa y revolver para que se mezclen. Llevar la salsa a ebullición, reducir la temperatura y dejar cocinando a fuego lento hasta que se espese un poco (10-15 minutos), revolviendo frecuentemente.
En un tazón pequeño, combinar los ingredientes del rub. Esparcir el rub uniformemente por las piezas de pollo.
Preparar el asador para fuego indirecto con calor medio (180-230 °C).
Cepillar las parrillas de cocción para limpiarlas. Asar el pollo a fuego directo con el lado de la piel hacia abajo, manteniendo la tapa cerrada, hasta que esté bien dorado (8-10 minutos), dándole la vuelta de vez en cuando. Trasladar las piezas a fuego indirecto. Escurrir y añadir las astillas de madera al carbón, o a la caja ahumadora de un asador de gas, siguiendo las instrucciones del fabricante. Seguir asando el pollo con la tapa cerrada durante unos 20 minutos. A continuación, untar por ambos lados con una fina capa de salsa y seguir cocinando hasta que los jugos salgan transparentes y la carne ya no esté rosada en el hueso (unos 15 minutos más), dando la vuelta de vez en cuando y untando con la salsa. Servir tibio o a temperatura ambiente, con la salsa restante como acompañamiento.